Скобки#

Автор(ы):

Дисклеймер: нам нужен инструментарий для работы с более абстрактными пространствами!

Символ Кронекера и остальные специальные тензора – это удобные примитивы для низкоуровневой работы с матрицами и векторами. Физики смогли придумать поверх примитивов линейной алгебры отличный синтаксический сахар, т.н. нотацию Дирака. Но давайте начнем с определения гильбертова пространства.

Гильбертово пространство#

Гильбертово пространство – это полное линейное векторное пространство, определяемое:

скалярным произведением \((u, v)\), в простейшем частном случае - \((u, v) = u^{\dagger} v\);
зафиксированной нормой вида \(||v|| = \sqrt{(v,v)}\);
метрикой \(d(u,v) = ||u-v|| = \sqrt{(u-v,u-v)}\).

Полное пространство#

При нахождении предела некоторой последовательности полное метрическое пространство дает возможность не думать о принадлежности этого предела данному пространству, то есть по своей сути разрешает предельный переход и позволяет доказать множество красивых теорем. Подробнее строгое определение можно посмотреть тут.

Нотация Дирака, или Bra-Ket нотация#

Напомним, что в гильбертовом пространстве для пространства \(H\) определено сопряженное пространство \(H^{\dagger}\). Тогда можно рассмотреть обозначение Ket для элемента \(v\) из \(H\) как вектор-столбец:

\[\begin{split} \ket{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_N \end{bmatrix} \end{split}\]

и обозначение Bra для элемента \(u\) из сопряженного пространства \(H^*\) как сопряженную вектор-строку

\[ \bra{u}= \begin{bmatrix} u_1^* & u_2^* & \cdots & u_N^* \end{bmatrix} \]

Bra-ket \(u\) и \(v\) просто задает скалярное произведение между этими элементами:

\[\begin{split} \bra{u} \ket{v} = u_1^* v_1 + u_2^* v_2 + \cdots + u_N^* v_N = \begin{bmatrix} u_1^* & u_2^* & \cdots & u_N^* \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_N \end{bmatrix} \end{split}\]

Часто, например, требуется показать два граничных состояния кубита \(\ket{0}\), \(\ket{1}\), тогда мы можем записать их просто как вектор-столбцы: \(\ket{0} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\) и \(\ket{1} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\). В следующей лекции этот вопрос будет рассмотрен детальнее.

Внешнее произведение (outer-product)#

Также имеет смысл и переставленная запись Ket-Bra, которая называется внешним произведением:

\[\begin{split} \ket{u} \bra{v} = \begin{bmatrix} u_1^* \\ u_2^* \\ \cdots \\ u_N^* \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & \vdots & v_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_1^* v_1 & u_1^* v_2 & \cdots & u_1^* v_N \\ u_2^* v_1 & u_2^* v_2 & \cdots & u_2^* v_N \\ \vdots & \cdots & \ddots & \vdots\\ u_N^* v_1 & \cdots & \cdots & u_N^* v_N \end{bmatrix} \end{split}\]

По сути это матрица \(N \times N\), то есть новый оператор в гильбертовом пространстве. Не все перестановки имеют смысл, например, нельзя записать \(\bra{v} \bra{v}\) или \(\ket{u} \ket{v}\).

Мы вернемся к Ket-Bra чуть ниже, когда будем говорить про операторы проекции.

Эрмитов оператор#

Оператор \(U\) называется эрмитовым, если он удовлетворяет равенству \((Uv,u) = (v,Uu)\) для всех \(u\), \(v\) из \(H\) или в матричном виде:

\[ U=U^{\dagger} \]

Унитарный оператор#

Унитарный оператор \(\hat{U}:H \rightarrow H\) на гильбертовом пространстве \(H\) – это линейный оператор, который удовлетворяет следующему равенству \((Uv, Uu) = (u,v)\) для любых \(v \in H\), \(u \in H\). Или в матричной форме:

\[ \hat{U}^{\dagger}\hat{U}=\hat{U}\hat{U}^{\dagger}=I \]

Напомним, что операция \(\hat{U}^\dagger\) (другое частое обозначение в работах – звездочка или \(H\hat{U}^{*}=\hat{U}^{H}\)) в матричных терминах является последовательным применением операции транспонирования и последующего комплексного сопряжения элементов этой матрицы \(\hat{U}^\dagger = \overline{\hat{U}}^T\) (порядок этих операций, естественно, не влияет на результат).

import numpy as np
import scipy as sp
from scipy import linalg

U_hat = np.array([
    [1 + 0j, 0 + 0j],
    [0 + 0j, 1 + 0j]
    ])

U_hat_star_byhands = U_hat.conj().T
U_hat_star_long = np.conjugate(np.transpose(U_hat))

print(np.allclose(U_hat_star_long, U_hat_star_byhands))

True

Также в Python для многих операций есть соответствующие методы вместо функций и их сокращения, например U.transpose() – то же самое, что U.T, а U.conjugate() – U.conj().

Важное свойство, что любой эрмитов оператор \(U\) можно привести к унитарному оператору с помощью взятия матричной экспоненты от матрицы оператора, умноженного на мнимую единицу:

\[ \hat{U} = e^{iU} \]

Давайте докажем быстро этот факт: для эрмитовых квадратных матриц можно определить матричные функции через спектральное разложение матрицы, которое в силу свойств эрмитовых матриц имеет вид: \(U=S \Lambda S^{\dagger}\), где \(S\) – унитарная матрица перехода к тому базису, где изначальный оператор выражается диагональной матрицей. Тогда матричная функция \(f(U) = S f(\Lambda) S^{\dagger}\), т.е. мы диагонализируем матрицу и применяем функцию ко всем диагональным элементам, а потом возвращаемся в исходный базис унитарным преобразованием. Соответственно, для экспоненты:

\[ e^V = S e^{\Lambda} S^\dagger. \]

Note

В качестве упражнения для самопроверки можете показать, что такое определение эквивалентно определению через степенной ряд: \(e^U = \sum_{k=0}^\infty{1 \over k!}U^k\)

Доказательство: Проверим определение унитарной матрицы: \(\hat{U}^{\dagger}\hat{U} = (S \exp (i*\Lambda) S^\dagger)^\dagger S \exp (i*\Lambda) S^\dagger\). Пользуясь тем, что эрмитово сопряжение произведения это произведение эрмитовых сопряжений в обратном порядке (\((AB)^\dagger=B^\dagger A^\dagger\)) и что эрмитово сопряжение является обратной операцией к себе (\((A^\dagger)^\dagger = A\)), а также тем, что \(S\) – унитарная матрица (то есть \(S \cdot S^{\dagger}=I\)), получаем:

\[ (S \exp (i*\Lambda) S^\dagger)^\dagger S \exp (i*\Lambda) S^\dagger = S \exp(-i*\Lambda) S^\dagger S \exp (i*\Lambda) S^\dagger = S \exp(-i*\Lambda) \exp (i*\Lambda) S^\dagger \]

Заметим, что теперь у нас уже скалярная экспонента, которая применяется к элементам диагональной матрицы, и мы можем воспользоваться тем, что произведение экспонент превращается в экспоненту от суммы степеней:

\[ S \exp(-i \Lambda + i \Lambda) S^\dagger = S \exp(O) S^\dagger = S I S^\dagger = I \]

В конце мы еще раз воспользовались тем, что \(S\) – унитарная. Абсолютно так же доказывается, что \(\hat{U}\hat{U}^{\dagger} = I.\)

Note

Кстати, любая матрица вида \(HH^{\dagger}\) является эрмитовой.

Давайте продемонстрируем доказанный факт на примере матрицы дискретного преобразования Фурье без нормировочного коэффициента \(\frac{1}{N}\), \(N=3\), преобразованной к \(DD^{\dagger}\):

N = 3
w = np.sqrt(np.exp(-1j * 2 * np.pi / N))

D = np.array([
    [1, 1, 1],
    [1, w, w ** 2],
    [1, w ** 2, w ** 4]
    ])

U = D @ D.conj().T
print(f"{U = }")

print(f"{D = }")
print(f"{np.allclose(U @ U.T.conj(), np.eye(N)) = }") # no

U_hat = linalg.expm(1j * U)
print(f"\n{np.allclose(U_hat @ U_hat.conj().T, np.eye(N)) = }")
print(f"\n{np.allclose(U_hat.conj().T @ U_hat, np.eye(N)) = }")

U = array([[ 3.00000000e+00+0.00000000e+00j,  1.00000000e+00+1.73205081e+00j,
        -1.11022302e-16+7.77156117e-16j],
       [ 1.00000000e+00-1.73205081e+00j,  3.00000000e+00+0.00000000e+00j,
         1.00000000e+00+1.73205081e+00j],
       [-1.11022302e-16-7.77156117e-16j,  1.00000000e+00-1.73205081e+00j,
         3.00000000e+00+0.00000000e+00j]])
D = array([[ 1. +0.j       ,  1. +0.j       ,  1. +0.j       ],
       [ 1. +0.j       ,  0.5-0.8660254j, -0.5-0.8660254j],
       [ 1. +0.j       , -0.5-0.8660254j, -0.5+0.8660254j]])
np.allclose(U @ U.T.conj(), np.eye(N)) = False

np.allclose(U_hat @ U_hat.conj().T, np.eye(N)) = True

np.allclose(U_hat.conj().T @ U_hat, np.eye(N)) = True

Пример: оператор-проектор#

Оператором проекции является оператор \(P\) со свойством \(P^2=P\).

Покажем, что Ket-Bra вида \(\ket{\Psi} \bra{\Psi}\) обладает этим свойством.

\[(\ket{\Psi} \bra{\Psi})^2 = \ket{\Psi} \bra{\Psi} \ket{\Psi} \bra{\Psi} = \ket{\Psi} (\bra{\Psi} \ket{\Psi}) \bra{\Psi} = \ket{\Psi} \bra{\Psi},\]

поскольку вектор состояния – нормированный: \(\bra{\Psi} \ket{\Psi} = 1\).

Оператор Ket-Bra с вектором состояния \(\ket{\Psi}\), то есть \(\ket{\Psi} \bra{\Psi}\)рассматривается во вводной лекции про кубиты, а также пригодится позже, когда речь зайдет о смешанных состояниях.

Пример: оператор поворота#

Оператором поворота по оси вращения \(v=(x,y,z)\) на угол \(\theta\) является

\[\begin{split} M(v,\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta + (1 - \cos \theta) x^2 & (1 - \cos \theta) x y - (\sin \theta) z & (1 - \cos \theta) x z + (\sin \theta) y \\ (1 - \cos \theta) y x + (\sin \theta) z & \cos \theta + (1 - \cos \theta) y^2 & (1 - \cos \theta) y z - (\sin \theta) x \\ (1 - \cos \theta) z x - (\sin \theta) y & (1 - \cos \theta) z y + (\sin \theta) x & \cos \theta + (1 - \cos \theta) z^2 \end{bmatrix} \end{split}\]

Например, матрица поворота относительно оси \(x\) на \(90^\degree\): \(x=1\), \(y=0\), \(z=0\), \(\theta = \frac{\pi}{2}\), будет иметь вид:

\[\begin{split} M = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos{\frac{\pi}{2}} & -\sin{\frac{\pi}{2}} \\ 0 & \sin{\frac{\pi}{2}} & 1 \end{bmatrix} \end{split}\]

Если у нас больше измерений, то по тем измерениям, которые не затрагиваются этим поворотом, у нас в строке и столбце стоят нули, кроме пересечения строки и столбца, отвечающих за это измерение - там стоит единица.

Операторы поворота очень важны в квантовых вычислениях. Они рассматриваются отдельно в лекции про квантовые гейты и далее используются в вариационных квантовых схемах для кодирования классических данных в квантовые операторы.

Пример: оператор дифференцирования#

В пространстве многочленов \(P\) с базисом \(\{1,t,t^2,...,t^n\}\) можно задать оператор дифференцирования \(\mathcal{D} \colon P_n \to P_{n-1}\) в виде матрицы:

\[\begin{split} D=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 &\cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &\cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 &\cdots & n \\ \end{bmatrix} \end{split}\]

Тогда производная многочлена \(p = a_0 + a_1 t + \cdots + a_n t^{n} = \begin{bmatrix} a_0 & a_1 & \cdots & a_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ t \\ \vdots \\ t^{n} \end{bmatrix}\)

\[\begin{split} \mathcal{D}(p) = \begin{bmatrix} a_0 & a_1 & \cdots & a_n \end{bmatrix} D \begin{bmatrix} 1 \\ t \\ \vdots \\ t^{n-1} \end{bmatrix} = a_1 + 2 a_2 t+\cdots+n a_n t^{n-1}. \end{split}\]

Про разницу между оператором и матрицей преобразования

Мы с вами рассматривали операторы через конечные матрицы, но на самом деле гильбертово пространство было придумано как раз, чтобы можно было работать с бесконечномерными векторами и применять непрерывные операторы. Можно считать, что есть некоторый дуализм между непрерывным оператором и пределом бесконечной матрицы. Иногда удобнее работать с матрицей, а иногда – с абстрактным оператором.

Произведение Кронекера#

Давайте рассмотрим еще одну интересную операцию, которая называется матричным тензорным произведением (является тензорным произведением для линейных операторов) или произведением Кронекера.

Проще всего его необходимость можно продемонстрировать на примере двух игр: Орел/Решка и бросок кубика. Мы можем записать состояния этих игр через вероятности событий и давайте возьмем монетку со смешенным центром тяжести и такой же кубик:

\(\text{coin} = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} && \frac{2}{3} \end{bmatrix}\) для нашей монетки и \(\text{dice}=\begin{bmatrix} \frac{1}{4} && \frac{1}{5} && \frac{1}{7} && \frac{1}{11} && \frac{1}{13} && \frac{4791}{20020} \end{bmatrix}\) для нашей игральной кости. Тогда если мы захотим сыграть в игру, когда сначала подкидывается монетка, а потом - игральный кубик, нам будет удобно записать это в виде либо очень длинного вектора:

\[ \text{game}_{\text{vec}} = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} && \frac{1}{3} \times \frac{1}{5} && \frac{1}{3} \times \frac{1}{7} && \frac{1}{3} \times \frac{1}{11} && \frac{1}{3} \times \frac{1}{13} && \frac{1}{3} \times \frac{4791}{20020}&& \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} && \frac{2}{3} \times \frac{1}{5} && \frac{2}{3} \times \frac{1}{7} && \frac{2}{3} \times \frac{1}{11} && \frac{2}{3} \times \frac{1}{13} && \frac{2}{3} \times \frac{4791}{20020} \end{bmatrix} \]

Либо в виде матрицы, где по строкам будут события монетки, а по столбцам – кубика:

\[\begin{split} \text{game}_{\text{matrix}} = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} && \frac{1}{3} \times \frac{1}{5} && \frac{1}{3} \times \frac{1}{7} && \frac{1}{3} \times \frac{1}{11} && \frac{1}{3} \times \frac{1}{13} && \frac{1}{3} \times \frac{4791}{20020}\\ \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} && \frac{2}{3} \times \frac{1}{5} && \frac{2}{3} \times \frac{1}{7} && \frac{2}{3} \times \frac{1}{11} && \frac{2}{3} \times \frac{1}{13} && \frac{2}{3} \times \frac{4791}{20020} \end{bmatrix} \end{split}\]

С помощью произведения Кронекера (или, повторимся, – матричного тензорного произведения) похожие огромные вектора и матрицы можно очень компактно записать:

\[\begin{split} \text{game}_{\text{vec}} = \text{coin} \otimes \text{dice} \\ \text{game}_{\text{matrix}} = \text{coin}^T \otimes \text{dice} \end{split}\]

В общем случае,

\[\begin{split} A \otimes B = \begin{bmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1q} & \cdots & \cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & \cdots & a_{1n} b_{1q} \\ a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2q} & \cdots & \cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & \cdots & a_{1n} b_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & \cdots & a_{11} b_{pq} & \cdots & \cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & \cdots & a_{1n} b_{pq} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & \cdots & a_{m1} b_{1q} & \cdots & \cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & \cdots & a_{mn} b_{1q} \\ a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & \cdots & a_{m1} b_{2q} & \cdots & \cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & \cdots & a_{mn} b_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & \cdots & a_{m1} b_{pq} & \cdots & \cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & \cdots & a_{mn} b_{pq} \end{bmatrix}\end{split}\]

Основные его свойства вы можете прочитать в статье: Произведение Кронекера

Есть и другие нужные тензорные операции, например, чуть больший список вы можете найти в этой статье или в рекомендованной литературе по квантовой механике.

Что мы узнали#

произвол со скобками
Гильбертовы пространства
Эрмитовый оператор
Унитарный оператор
Примеры различных операторов

QMLCourse

Скобки

Contents

Скобки#

Гильбертово пространство#

Полное пространство#

Нотация Дирака, или Bra-Ket нотация#

Внешнее произведение (outer-product)#

Эрмитов оператор#

Унитарный оператор#

Пример: оператор-проектор#

Пример: оператор поворота#

Пример: оператор дифференцирования#

Произведение Кронекера#

Рекомендованная литература#

Что мы узнали#