Квантовая телепортация#

Автор(ы):

Пожалуй, пришло время познакомиться с квантовой телепортацией.

Часто вижу в новостях “телепортировали кубит”, “телепортировали электрон”. Но это лишь игра слов… Рассмотрим два запутанных электрона – первый находится у вас, а второй у вашего друга. И под телепортацией подразумевается вот что: вы, используя допустимую операцию, изменяете состояние своего электрона, и второй (запутанный с ним), также изменит свое состояние (в соответствии с примененной операцией). Вам остается лишь выбрать допустимую операцию.

Давайте сейчас посмотрим на состояния Белла (Bell states). Прошу:

(11)#

| β_{00} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 00 ⟩ + | 11 ⟩)

| β_{01} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 01 ⟩ + | 10 ⟩)

| β_{10} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 00 ⟩ - | 11 ⟩)

| β_{11} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 01 ⟩ - | 10 ⟩)

Это четыре всадника квантовой запутанности. И у них есть много преимуществ: используют всего два кубита, их легко получить… А что нам еще нужно? Дальше в примере мы воспользуемся одним из этих состояний.

Теперь работаем в терминах квантовой теории информации – это сильно поможет с пониманием остальных тем нашего с вами курса.

Итак, квантовая телепортация будет проводиться двумя персонами – Алисой и Бобом, из которых первые два кубита контролируются Алисой, а третий – Бобом. Алиса хочет передать Бобу закодированное сообщение (отождествляемое с квантовым состоянием): $| ψ ⟩ = α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩$

Изначально, вся система из трех кубитов будет иметь следующее состояние: $| ψ_{0} ⟩ = | ψ ⟩ | 0 ⟩ | 0 ⟩$ . Т.е. первый кубит находится в состоянии $| ψ ⟩$ , которое затем будет передаваться с помощью второго кубита на третий.

Алиса и Боб

Первые два шага являются подготовительными. Поэтому Боб находится рядом и ждет, пока Алиса проведет необходимые операции.

Алиса применяет гейт Адамара ко второму кубиту:

$| ψ_{1} ⟩ = (I \otimes H \otimes I) | ψ_{0} ⟩ = (I \otimes H \otimes I) | ψ ⟩ | 0 ⟩ | 0 ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} | ψ ⟩ (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) | 0 ⟩$
Далее Алиса использует гейт CNOT для того, чтобы запутать второй кубит с третьим:

$| ψ_{2} ⟩ = (I \otimes C N O T (2, 3)) | ψ_{1} ⟩ =$

$(I \otimes C N O T (2, 3)) \frac{1}{\sqrt{2}} | ψ ⟩ (| 0 ⟩ + | 1 ⟩) | 0 ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} | ψ ⟩ (| 0 ⟩ | 0 ⟩ + | 1 ⟩ | 1 ⟩)$

Алиса и Боб

Теперь состояния готовы. Сейчас Боб, забрав третий кубит с собой, отправляется по своим делам. И Алиса, в случае необходимости, сможет передать ему послание.
Алиса применяет CNOT между первым и вторым кубитами. Вспоминая, что $| ψ ⟩ = α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩$ :

$| ψ_{3} ⟩ = (C N O T (1, 2) \otimes I) | ψ_{2} ⟩ =$

$(C N O T (1, 2) \otimes I) \frac{1}{\sqrt{2}} (α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩) (| 00 ⟩ + | 11 ⟩) =$

$= \frac{1}{\sqrt{2}} [α (| 000 ⟩ + | 011 ⟩) + β (| 110 ⟩ + | 101 ⟩)]$
Алиса применяет гейт Адамара на своем первом кубите:

$| ψ_{4} ⟩ = (H \otimes I \otimes I) | ψ_{3} ⟩ =$

$\frac{1}{2} [| 00 ⟩ (α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩) +$

$| 01 ⟩ (α | 1 ⟩ + β | 0 ⟩) +$

$| 10 ⟩ (α | 0 ⟩ - β | 1 ⟩) +$

$| 11 ⟩ (α | 1 ⟩ - β | 0 ⟩)]$

Внимание

Видно, что в каждой строчке у нас получаются разные состояния, по первым двум кубитам мы можем определить, в каком будет третий. Обратите внимание на общий множитель $\frac{1}{2}$ в первой строчке, не пропустите.
Алисе нужно теперь измерить первые 2 кубита и станет ясно, в какое из четырех состояний перейдет кубит Боба:

$\begin{array}{r} \begin{array}{rr} 00 & α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩ \\ 01 & α | 1 ⟩ + β | 0 ⟩ \\ 10 & α | 0 ⟩ - β | 1 ⟩ \\ 11 & α | 1 ⟩ - β | 0 ⟩ \end{array} \end{array}$
В зависимости от полученных по классическому каналу данных, Боб должен применить одну из операций для того, чтобы восстановить исходное состояние:

\begin{array}{r} \begin{array}{rr} 00 & I \\ 01 & X \\ 10 & Z \\ 11 & Z X \end{array} \end{array}

Одним из ограничений квантовой телепортации является необходимость передать результаты измерений первых двух кубитов от Алисы к Бобу по классическому каналу (5 шаг). Поэтому весь протокол выполняется не быстрее скорости света.

Приведем данную схему:

from qiskit import QuantumCircuit, ClassicalRegister, QuantumRegister

# создаем необходимые регистры
qr = QuantumRegister(3, name="q")
crz = ClassicalRegister(1, name="crz")
crx = ClassicalRegister(1, name="crx")

# создаем схему
qc = QuantumCircuit(qr, crz, crx)

# Шаг 1
qc.h(qr[1])
# Шаг 2
qc.cx(qr[1], qr[2])

# Шаг 3
qc.cx(qr[0], qr[1])
# Шаг 4
qc.h(qr[0])

# Шаг 5 - измеряются 2 кубита Алисы, чтобы передать результат Бобу
qc.measure(qr[0], crz)
qc.measure(qr[1], crx)

# Шаг 6 - применяются гейт X и гейт Z в завиимости от того, какое из измерений дает результат 1.
qc.x(qr[2]).c_if(crx, 1)
qc.z(qr[2]).c_if(crz, 1)

qc.draw()

                      ┌───┐┌─┐              
  q_0: ────────────■──┤ H ├┤M├──────────────
       ┌───┐     ┌─┴─┐└┬─┬┘└╥┘              
  q_1: ┤ H ├──■──┤ X ├─┤M├──╫───────────────
       └───┘┌─┴─┐└───┘ └╥┘  ║  ┌───┐  ┌───┐ 
  q_2: ─────┤ X ├───────╫───╫──┤ X ├──┤ Z ├─
            └───┘       ║   ║  └─╥─┘  └─╥─┘ 
                        ║   ║    ║   ┌──╨──┐
crz: 1/═════════════════╬═══╩════╬═══╡ = 1 ╞
                        ║   0 ┌──╨──┐└─────┘
crx: 1/═════════════════╩═════╡ = 1 ╞═══════
                        0     └─────┘

Лекция и реализация квантовой телепортации в Qiskit

QMLCourse

Квантовая телепортация

Квантовая телепортация#