Смешанные состояния и матрицы плотности

Автор(ы):

• Карелин Николай

• Синченко Семен

• Беседин Илья

Описание лекции

Из этой лекции мы узнаем:

• Что такое матрица плотности

• Как ввести в описание квантовых состояний новый уровень случайности

• Как связаны смешанные (mixed) и запутанные (entangled) состояния

• Как можно описать насколько “сильно” квантовое состояние является смешанным

Смешанные состояния

Эта глава кратко рассматривает довольно сложный, но крайне важный аспект квантового описания мира: как описать квантовую систему, в которой случайным является не только результат измерения, но и само состояние квантовой системы, иными словами, когда мы не можем описать квантовую систему определенным вектором состояния.

Как могут появиться такие ситуации?

Прежде всего, в любой реалистичной ситуации квантовая система будет испытывать влияние окружающей среды. Это воздействие окружающей среды на квантовый компьютер, как правило, может быть охарактеризовано некоторой температурой этой самой среды и скоростью термализации системы с ней. В отличие от классических компьютеров, где шумы редко приводят к ошибкам в вычислениях, квантовые компьютеры очень плохо защищены от шумов. Любое масштабное квантовое вычисление является гонкой с процессами декогеренции и релаксации: за время выполнения алгоритма шумы не должны испортить результат вычислений настолько, чтобы его нельзя было использовать.

Вторая, более важная причина использования смешанных состояний состоит в их тесной связи с запутанными состояниями, как показано ниже.

Почему нельзя обойтись волновой функцией

Рассмотрим реальный физический кубит в состоянии равновесия, например, спин ядра атома в магнитном поле. Статистическая физика говорит нам, что вероятность обнаружить этот спин ориентированным вдоль внешнего поля выше, чем в противоположном полю направлении. Для расчета отношений этих вероятностей можно использовать распределение Больцмана: $p_{\uparrow }/p_{\downarrow }=e^{\frac{2\mu \mathrm{\Delta }H}{k_{\mathrm{B}}T}}$, где $2\mu \mathrm{\Delta }H$ – разность энергий состояний со спином вдоль поля и в противоположном полю направлений, $k_B$ – постоянная Больцмана, а $T$ – температура. Так как состояний у этой системы всего два, сумма их вероятностей должна давать единицу: $p_{\uparrow }+p_{\downarrow }=1$. Таким образом, вероятности состояний однозначно определены.

Волновую функцию, отвечающую такому тепловому состоянию, можно записать в виде

$$\begin{array}{r}|\psi ⟩=\left(\begin{array}{c}\sqrt{p_{\uparrow }}\\ \sqrt{p_{\downarrow }}{e}^{i\varphi }\end{array}\right),\end{array}$$

где значение фазы $\varphi$ не определено. Однако $\varphi$ определяет поведение системы не в меньшей мере, чем вероятности $p_{\uparrow }$ и $p_{\downarrow }$. $\varphi$ может равновероятно принимать любые значения. Таким образом, уже даже состояние теплового равновесия нельзя описать одной волновой функцией – это будет распределением вероятности по волновым функциям с разным $\varphi$.

Матрица плотности

Оказывается, что вместо распределения вероятностей по волновым функциям можно использовать более простую конструкцию – матрицу плотности. Если система находится в состояниях ${\mathrm{\Phi }}_n$ с вероятностями $p_n$, то матрицу плотности можно определить как

(1)$$\rho =\sum _n{p}_n|{\mathrm{\Phi }}_n⟩⟨{\mathrm{\Phi }}_n|.$$

Выражение $|{\mathrm{\Phi }}_n⟩⟨{\mathrm{\Phi }}_n|$ обозначает произведение вектора-столбца на вектор-строку – результатом будет матрица. Важно, что значение любой ожидаемой величины (отвечающей оператору $\hat{A}$) можно записать через $\rho$:

$$\mathbb{E}[A]=\sum _n{p}_n⟨{\mathrm{\Phi }}_n|\hat{A}|{\mathrm{\Phi }}_n⟩=\sum _n{p}_n\mathrm{Tr}\left[|{\mathrm{\Phi }}_n⟩⟨{\mathrm{\Phi }}_n|\hat{A}\right]=\mathrm{Tr}\left[\rho \hat{A}\right]$$

Математическое обоснование этой циклической перестановки можно получить, расписав матричные произведения покомпонентно:

$$⟨{\mathrm{\Phi }}_n|\hat{A}|{\mathrm{\Phi }}_n⟩=\sum _{i,j}{\mathrm{\Phi }}_n^{i\ast }{A}_{ij}{\mathrm{\Phi }}_n^j=\mathrm{Tr}\left[|{\mathrm{\Phi }}_n⟩⟨{\mathrm{\Phi }}_n|\hat{A}\right].$$

Любую наблюдаемую физическую величину можно выразить в виде ожидаемой величины некоторого эрмитова оператора – а значит, описание с помощью матрицы плотности является универсальным для любых случайных квантовых систем.

Стоит заметить, что матрица плотности для подсистем была впервые введена в научный оборот знаменитым советским физиком, лауреатом Нобелевской премии Львом Ландау. [15a]

Fig. 25 Лев Ландау, 1908-1968

Чистые и смешанные состояния

Состояния, которые описываются одной единственной волновой функцией $\mathrm{\Psi }$, называются чистыми (англ. pure states). Для таких состояний выражение для матрицы плотности получается тривиальным:

(2)$$\rho =|\mathrm{\Psi }⟩⟨\mathrm{\Psi }|$$

Матрица плотности чистого состояния является оператором-проектором: действие оператора на волновую функцию произвольного состояния $\mathrm{\Phi }$ дает проекцию $\mathrm{\Phi }$ на $\mathrm{\Psi }$. Состояния, которые нельзя описать одним вектором состояния, а можно лишь матрицей плотности, называются смешанными (англ. mixed states).

Чистота состояния

Можно легко показать, для оператора-проектора (2) выполняется тождество

$${\rho }^2=|\mathrm{\Psi }⟩⟨\mathrm{\Psi }||\mathrm{\Psi }⟩⟨\mathrm{\Psi }|=|\mathrm{\Psi }⟩⟨\mathrm{\Psi }|=\rho$$

и следовательно, для чистого состояния

$$\mathrm{Tr}({\rho }^2)=1$$

(напомним, что мы всегда считаем вектора состояния нормированными на единицу).

Аналогичным образом, но после более длинных выкладок можно показать, что в общем случае

$$\mathrm{Tr}({\rho }^2)\le 1,$$

причем знак равенства в последней формуле возможен, только если в формуле (1) сумма имеет лишь одно слагаемое (т.е. состояние является чистым). Последнее свойство матрицы плотности позволяет ввести ряд величин, характеризующих смешанные и запутанные состояния, о чем будет рассказано в заключительном разделе этой лекции. Величина

(3)$$\gamma =\mathrm{Tr}({\rho }^2)$$

называется чистотой состояния (quantum state purity).

Энтропия

Энтропия фон Неймана – это другая численная характеристика того, насколько сильно наша система смешанная. Ее выражение очень похоже на выражение для классической энтропии Шеннона. Только в отличие от классики, в квантовой механике мы имеем матрицу плотности, поэтому в выражении у нас фигурирует матричный логарифм:

(4)$$S=-Tr(\rho \cdot \ln (\rho ))$$

Спектральная декомпозиция матрицы плотности

Определение матрицы плотности (1) представляет собой сумму матриц плотностей чистых состояний, взятых с некоторыми вероятностями. Интересно, что совершенно разным комбинациям чистых состояний могут соответствовать одинаковые матрицы плотности. Например, состояние кубита, который с вероятностью 50% находится в состоянии $|0⟩$ и с вероятностью 50% в состоянии $|1⟩$ совершенно неотличимо от такой же равновероятной смеси состояний $|+⟩$ и $|-⟩$:

$$\begin{array}{r}\frac{1}{2}(|0⟩⟨0|+|1⟩⟨1|)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& 0\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right)=\frac{1}{2}(|+⟩⟨+|+|-⟩⟨-|)\end{array}$$

Соотношение (1) также можно рассматривать как спектральную декомпозицию матрицы плотности. В этом случае состояния ${\mathrm{\Psi }}_n$ образуют ортонормированный базис, а вероятности $p_n$ – это собственные значения $\rho$. Как чистота (3), так и энтропия (4) зависят лишь от этих собственных значений.

Смешанные состояния и запутанность

Рассмотрим ситуацию, когда описываемую квантовую систему $\mathrm{\Phi }$ можно разделить на две подсистемы, $\varphi$ и $\psi$, и состояние этой системы $|\mathrm{\Phi }⟩$ является суперпозицией состояний двух подсистем:

$$|\mathrm{\Phi }⟩=\sum _{i,j}{c}_{i,j}|{\varphi }_i⟩|{\psi }_j⟩.$$

Здесь два ортонормированных набора векторов состояния $|{\varphi }_i⟩$ и $|{\psi }_j⟩$ описывают две части всей системы. Для такого состояния не всегда можно сказать, в каком именно состоянии находится каждая подсистема.

Note

Вспомним обсуждение кота Шредингера в лекции про кубит – упрощая до предела, можно считать, что радиоактивный атом является одной системой, а несчастный кот – второй.

До измерения ни атом, ни кот не имеют определенного состояния, а находятся в суперпозиции возможных состояний.

Что же мы можем сделать, если у нас есть доступ лишь к одной из двух подсистем, а измерить состояние второй мы уже не можем? В таком случае, все наши наблюдаемые величины будут отвечать операторами $A_{\psi }$, которые действует только на вторую подсистему. В примере кота Шредингера можно допустить, что экспериментально пронаблюдать мы можем лишь состояние кота, а состояние радиоактивного атома недоступно нам для измерения. В таком случае состояние второй подсистемы можно полностью описать используя редуцированную матрицу плотности. Редуцированная матрица плотности получается из матрицы плотности чистого состояния всей системы суммированием по вероятностям различных состояний первой подсистемы:

(5)$${\rho }_{\psi }={\mathrm{Tr}}_{\varphi }(|\mathrm{\Phi }⟩⟨\mathrm{\Phi }|)=\sum _{i,j}{d}_{i,j}|{\psi }_j⟩⟨{\psi }_i|,$$

где

$$d_{i,j}=\sum _k{c}_{j,k}{c}_{i,k}^{\ast },$$

а ${\mathrm{Tr}}_{\varphi }$ означает частичный след по второй подсистеме, звездочка – комплексное сопряжение. В таких обозначениях значение для среднего от оператора $A$ вычисляется по формуле

$$⟨A_{\psi }⟩={\mathrm{Tr}}_{\psi }(A{\rho }_{\psi })$$

Здесь след матрицы уже вычисляется по первой подсистеме.

Чаще всего при обсуждении смешанных состояний рассматривают только одну “подсистему”, считая, что вторая – это некоторый макроскопический объект (“резервуар”, например лаборатория или даже вся Вселенная). В этом случае определение матрицы плотности (1) можно рассматривать как редуцированную матрицу плотности (5), из которой убрали нерелевантные и неконтролируемые степени свободы.

Запутанные и сепарабельные состояния

Давайте вернемся к представлению состояния составной системы и зададимся вопросом: что можно сказать о связи между частями системы с точки зрения квантового описания? Для системы из двух кубитов такая составная система в общем случае может быть записана в явном виде (в этом разделе мы в основном следуем изложению из книги [01]):

(6)$$|\mathrm{\Phi }⟩=a|0_A{0}_B⟩+b|0_A{1}_B⟩+c|1_A{0}_B⟩+d|1_A{1}_B⟩,$$

где индексы $A$ и $B$ здесь обозначают первый и второй кубиты, соответственно, а условие нормировки дает

$$⟨\mathrm{\Phi }|\mathrm{\Phi }⟩=|a{|}^2+|b{|}^2+|c{|}^2+|d{|}^2=1.$$

Теперь, как можно показать, состояние типа (6) может быть представлено в виде произведения состояний двух отдельных кубитов, если $ad=dc$:

$$|{\mathrm{\Phi }}_s⟩=(a_A|0_A⟩+b_A|1_A⟩)\otimes (a_B|0_B⟩+b_B|1_B⟩),$$

где для выражения (6)

$$\begin{array}{r}\begin{array}{cc}a=a_A{a}_B& b=a_A{b}_B\\ c=b_A{a}_B& d=b_A{b}_B\end{array}\end{array}$$

В других случаях, когда $ad\ne dc$, состояние составной системы не представимо в виде произведения состояний подсистем, такие состояния называют несепарабельными (nonseparable). Другими словами, результат измерения состояния подсистемы $A$ будет зависеть от состояния подсистемы $B$. Это означает, что для квантовых систем возможна нелокальная корреляция. Такое свойство квантовых систем называется запутыванием (entanglement), а сами состояния запутанными (entangled).

Note

В отличие от анлийского языка, в русском языке не сложилось единой терминологии в отношении запутанных состояний. На момент написания этой лекции (осень 2021 года) в статье Квантовая запутанность русскоязычной Википедии указывается восемь (!) отличающихся терминов для этого явления, например, “запутанность”, “перепутанность” или “сцепленность”. Сделать с этим что-то сложно, остается только иметь в виду имеющиеся обстоятельства. Мы будем стараться употреблять термин запутанность и, соответственно, запутанные состояния.

Приведем пару примеров запутанных состояний:

1. $b=c=0,a=d=\pm 1/\sqrt{2}$ – состояние “шредингеровского кота”, см. [01] и [07], такая формула для вектора состояния возникает для суперпозиции двух макроскопически различимых состояний одной из подсистем, например, живой или мертвый кот.

2. $a=d=0,b=-c=\pm 1/\sqrt{2}$ – такое состояние называется ЭПР-парой (EPR, от Einstein-Podolsky-Rosen) и это очень важный пример из истории изучения запутанности в квантовой физике.

Note

в 1930-е происходили многочисленные споры об “интерпретации” (сути) квантовой механики. Именно тогда Эйнштейн, Шредингер и их коллеги обратили внимание на несепарабельные состояния и затем Эйнштейном, Подольским и Розеном был сформулирован “парадокс” – что квантовая механика либо нелокальна (т.е. несовместима с теорией относительности), либо неполна (мы учитываем не все параметры при описании состяния квантовых систем). Именно с дискуссией о сути запутанности связана знаменитая цитата Эйнштейна “Бог не играет в кости” и менее известный ответ Нильса Бора, “Альберт, не указывай Богу, что ему делать.”

Довольно долго изучение запутанности и связанных с ней трудностей считались сложным, но не основными вопросами квантовой физики. Но с развитием квантовой информатики стало понятно, что без запутанности нельзя разрабатывать квантовые компьютеры и системы квантовой связи. В настоящее время существуют устоявшиеся методы создания запутанных состояний в эксперименте. А для целей нашего курса, в симуляциях, достаточно использовать двухкубитные гейты, которые обсуждались в предыдущей лекции, например CNOT или CZ, который используется в лекции про Градиенты квантовых схем.

В качестве примера давайте посмотрим, как можно создать запутанное состояние в PennyLane. Начнем с импортов и создания двухкубитной схемы:

import pennylane as qml
from pennylane import numpy as np

dev = qml.device("default.qubit", wires=2)

/home/runner/work/qmlcourse/qmlcourse/.venv/lib/python3.8/site-packages/_distutils_hack/__init__.py:33: UserWarning: Setuptools is replacing distutils.
  warnings.warn("Setuptools is replacing distutils.")

Далее применим к первому кубиту операцию поворота $\widehat{RX}$, запутаем кубиты с помощью $\widehat{CNOT}$ и далее оценим запутанность с помощью измерения оператора Паули $\widehat{{\sigma }^z}$:

@qml.qnode(dev)
def circuit(param):
    qml.RX(param, wires=0)
    qml.CNOT(wires=[0, 1])
    return qml.expval(qml.PauliZ(0)), qml.expval(qml.PauliZ(1))

В этом примере значение переменной param определяет степень запутанности, и для $\pi /2$ запутанности будет максимальна. В результате оба кубита будут максимально смешанными и средний результат измерения будет нулевым:

print(circuit(np.pi / 2))

[2.22044605e-16 2.22044605e-16]

(код взят из официальной демонстрации для библиотеки PennyLane)

Разложение Шмидта

В этом разделе мы познакомимся с важной процедурой – разложением Шмидта, которое тесно связано со спектром редуцированных матриц плотности состояния составной квантовой системы и благодаря которому легко увидеть, является ли состояние системы запутанным или нет.

Снова запишем чистое двухчастичное состояние $|\mathrm{\Phi }⟩$ квантовой системы, в пространстве $H_{\varphi }\otimes H_{\psi }$ двух подсистем $\varphi$ и $\psi$. Покажем тогда, что существуют ортонормированные состояния $|i_{\varphi }⟩$ системы $\varphi$ и ортонормированные состояния $|i_{\psi }⟩$ системы $\psi$, которые дадут нам разложение:

(7)$$|\mathrm{\Phi }⟩=\sum _i{\lambda }_i|i_{\varphi }⟩|i_{\psi }⟩,$$

где ${\lambda }_i$ – неотрицательные числа (коэффициенты Шмидта), удовлетворяющие условию $\sum _i{\lambda }_i^2=1$.

Для доказательства рассмотрим случай, когда обе подсистемы имеют пространство одинаковой размерности. Пусть тогда $|n⟩$ и $|k⟩$ состояния образуют произвольный ортонормированный базис для подсистем $\varphi$ и $\psi$. Соответственно, тогда состояние системы $|\mathrm{\Phi }⟩$ может быть представлено в виде разложения:

(8)$$|\mathrm{\Phi }⟩=\sum _{n,k}{a}_{nk}|n⟩|k⟩,\text{где}{a}_{nk}=⟨nk||\mathrm{\Phi }⟩$$

Константы разложения $a_{nk}$ образуют эрмитово-сопряженную комплексную матрицу $A$, которую можно привести к диагональному виду. Для этого применим к этой матрице сингулярное разложение (или SVD-разложение) вида: $A=U\cdot S\cdot V^{\ast }$, где $U$ и $V$ – унитарные матрицы, а $S$ – диагональная матрица с неотрицательными действительными числами на диагонали (эти числа называют сингулярными числами матрицы $A$, и их набор однозначно определяется матрицей). Тогда разложение (8) можно привести к виду:

(9)$$|\mathrm{\Phi }⟩=\sum _{i,n,k}{u}_{in}{s}_{ii}{v}_{ik}|n⟩|k⟩.$$

Теперь переопределим базис состояний в подсистемах $\varphi$ и $\psi$:

(10)$$|i_{\varphi }⟩=\sum _n{u}_{ni}|n⟩\text{ , }|i_{\psi }⟩=\sum _k{v}_{ik}|k⟩$$

и обозначим $s_{ii}\equiv {\lambda }_i$. В результате разложение (9) преобразуется к виду:

$$|\mathrm{\Phi }⟩=\sum _i{\lambda }_i|i_{\varphi }⟩|i_{\psi }⟩$$

В силу унитарности $U$ и $V$ наборы базисных состояний $|i_{\varphi }⟩$ и $|i_{\psi }⟩$ в (10) образуют полную ортонормированную систему, или базис Шмидта, а само представление (7) называют разложением Шмидта. Число ненулевых значений коэффициентов Шмидта ${\lambda }_i$ называется числом (или рангом $rank(A)=dim{s}_{ii}:s_{ii}>0$) Шмидта для состояния $|\mathrm{\Phi }⟩$. В теории мер квантовой запутанности это число характеризует степень (или меру) запутанности состояний сложной системы. Чистое двухчастичное состояние запутанно тогда и только тогда, когда его число Шмидта $>1$, и чем больше число Шмидта, тем сильнее запутано состояние.

Следствием приведенных выше свойств является важная связь между коэффициентами Шмидта чистого запутанного состояния со спектром его редуцированных матриц плотности ${\rho }_{\varphi }={\text{Tr}}_{\psi }\left(|\mathrm{\Phi }⟩⟨\mathrm{\Phi }|\right)$ и ${\rho }_{\psi }={\text{Tr}}_{\varphi }\left(|\mathrm{\Phi }⟩⟨\mathrm{\Phi }|\right)$. Несложно убедиться, что собственные значения редуцированных матриц ${\rho }_{\varphi }$ и ${\rho }_{\psi }$ совпадают и представляют собой квадраты коэффициентов Шмидта, а их собственные вектора представляют собой состояния $|i_{\varphi }⟩$ и $|i_{\psi }⟩$ соответственно. Эти свойства дают нам удобный алгоритм вычисления разложения Шмидта двухчастичного состояния $|\mathrm{\Phi }⟩$ через редуцированные матрицы его подсистем: (1) на первом этапе следует вычислить редуцированные матрицы плотности ${\rho }_{\varphi }$ и ${\rho }_{\psi }$; (2) на втором этапе найти общие собственные значения $a_i$ и соответствующие им собственные векторы $|i_{\varphi }⟩$ и $|i_{\psi }⟩$ для матриц ${\rho }_{\varphi }$ и ${\rho }_{\psi }$; (3) записать разложение Шмидта в виде:

$$|\mathrm{\Phi }⟩=\sum _i\sqrt{a_i}|i_{\varphi }⟩|i_{\psi }⟩.$$

Описания эволюции смешанного состояния

Квантовая динамика

Напомним, что квантовая динамика в терминах волновых функций $|\mathrm{\Psi }⟩$ описывается при помощи уравнения Шредингера:

$$i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }(x,t)}{\partial t}=\hat{H}\mathrm{\Psi }(x,t).$$

Аналогичное уравнение можно получить и для матриц плотности. Оно называется уравнением фон Неймана и записывается через коммутатор $[]$, который определен как $[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$:

$$i\hslash \frac{\partial \rho }{\partial t}=[\hat{H},\rho ].$$

Аналогично, если действие каких-то унитарных операций изменяет вектор состояния $|\mathrm{\Psi }⟩$ на $\hat{U}|\mathrm{\Psi }⟩$, то матрицу плотности оно должно изменять как

$$\sum _n{p}_n\hat{U}|{\mathrm{\Psi }}_n⟩⟨{\mathrm{\Psi }}_n|{\hat{U}}^{†}=\hat{U}\rho {\hat{U}}^{†}.$$

Важное свойство унитарных матриц – их собственные значения по модулю равны единице. Действие унитарного оператора не изменяет собственных значений матрицы плотности, но вращает собственный ее базис. Исходя из этого можно сделать вывод о том, что ни чистота, ни энтропия не могут изменяться в результате унитарных операций.

Измерения и томография

Квантовая механика работает так, что любое измерение приводит к коллапсу волновой функции и является необратимым. А еще измерения, например, состояния $|+⟩$ и $|-⟩$ не различимы при измерениях по оси $\mathbf{Z}$ – для обоих состояний мы будем получать $|1⟩$ и $|0⟩$ с вероятностью $0.5$, то есть нам нужно измерять по всем базисам. В общем, получается, что восстановить амплитуду и фазу волновой функции $\mathrm{\Psi }$ это большая проблема, если добавить сюда вероятностный характер измерения.

Note

Строго говоря это не просто “большая” проблема, а настоящая NP-полная задача оптимизации!

Fig. 26 Иллюстрация фазовой проблемы.

Эта задача обычно решается при помощи квантовой томографии, и восстанавливают как раз не волновую функцию $\mathrm{\Psi }$, а матрицу плотности $\rho$ (потому что в реальных экспериментах и задачах почти не бывает чистых состояний). Представим, что наша квантовая система описывается базисом $y_i$ – набором из $2^N$ векторов, причем каждому из этих базисных векторов соответствует свое собственное значение – результат измерения (подробнее об этом было в лекции про кубит). Тогда если у нас будет достаточно много результатов измерений, то мы сможем восстановить нашу матрицу плотности $\rho$ методом максимизации правдоподобия. Выражение для правдоподобия в этом случае можно записать как:

$$L(\rho )=\prod _i⟨y_i|\rho {|y_i⟩}^{q_i},$$

где $q_i$ – это частота получения собственного значения, соответствующего волновой функции $|y_i⟩$ (потому что измерение переводит наше состояние в базисный вектор, соответствующий результату измерения). В итоге увеличивая число измерений мы приближаем частоты $q_i$ к вероятностям $⟨\mathrm{\Psi }|(|y_i⟩⟨y_i|)|\mathrm{\Psi }⟩$, а нашу матрицу $\rho$ к ее истинному виду.

Методы квантовой томографии являются критической частью, в том числе, квантовой связи, так как системы там обычно небольшие, но восстанавливать надо всю матрицу плотности.

Что мы узнали?

• Формализм матрицы плотности позволяет описывать составные системы (например, один кубит в многокубитной системе)

• Чаще всего в реальных экспериментах у нас ситуация “мы приготовили состояние, но точно не знаем какое” и волновая функция нам не подходит

• Что такое квантовая запутанность и как ее можно описать

• Состояние части запутанного состояния – смешанное

• Отличие смешанного состояния от чистого можно охарактеризовать параметром типа энтропии