Векторы#

Автор(ы):

Определение#

Вектор – это термин, который имеет несколько различных интерпретаций: математическую, геометрическую, физическую и др. Точный смысл данного термина зависит от контекста.

Формально вектор определяется как элемент векторного пространства – множества, на котором определены операции сложения и умножения вектора на число (скаляр), которые должны удовлетворять 8 аксиомам.

Для простоты понимания рассмотрим знакомую нам со школьных времен прямоугольную (Декартову) систему координат на плоскости – две перпендикулярные друг другу оси \(x\) и \(y\), выбранные на них единичные векторы (орты) \(\mathbf{e}_1\), \(\mathbf{e}_2\) и начало координат.

Вектор \(\mathbf{a}\) в такой системе координат можно записать следующим образом: \(\mathbf{a} = a_1 \mathbf{e}_1 + a_2 \mathbf{e}_2 = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}\)

Замечание 1: Координаты вектора не определяют однозначно его положение на плоскости, а лишь положение конца вектора относительно его начала. Например, вектор \(\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) может быть отложен как из точки начала координат \(\begin{pmatrix} 0 , 0 \end{pmatrix}\) с концом в точке \(\begin{pmatrix} 3 , 4 \end{pmatrix}\), так и из произвольной точки, например, \(\begin{pmatrix} 1 , 1 \end{pmatrix}\) с концом в точке \(\begin{pmatrix} 4 , 5 \end{pmatrix}\). Оба этих вектора соответствую 3 ортам на оси \(x\) и 4 на оси \(y\). Обычно, если не сказано иное, предполагается, что вектор отложен из начала координат.

Замечание 2: Вектор можно представить либо как вектор-столбец \(\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}\), либо как вектор-строку \(\begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \end{pmatrix}\). Здесь и далее под вектором будем подразумевать вектор-столбец, если не сказано иного.

Понятие вектора на плоскости можно обобщить на 3-мерное пространство, и, в общем случае, на \(n\)-мерное пространство (которое уже не получится визуализировать):

\[\begin{split} \mathbf{a} = a_1 \mathbf{e}_1 + a_2 \mathbf{e}_2 + ... + a_n \mathbf{e}_n = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ ... \\ a_n \end{pmatrix} \end{split}\]

Операции с векторами#

Как было сказано ранее, в формальном определении существуют две основные операции над векторами:

  • сложение:

\[\begin{split} \mathbf{a} + \mathbf{b} = (a_1 + b_1) \mathbf{e}_1 + (a_2 + b_2) \mathbf{e}_2 + ... + (a_n + b_n) \mathbf{e}_n = \\ = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ ... \\ a_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ ... \\ b_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ ... \\ a_n + b_n \end{pmatrix} \end{split}\]

  • умножения вектора на число (скаляр):

\[\begin{split} \lambda \mathbf{a} = \lambda a_1 \mathbf{e}_1 + \lambda a_2 \mathbf{e}_2 + ... + \lambda a_n \mathbf{e}_n = \lambda \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ ... \\ a_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda a_1 \\ \lambda a_2 \\ ... \\ \lambda a_n \end{pmatrix} \end{split}\]

Операцию умножения вектора на число можно интерпретировать геометрически, как сжатие / растяжение вектора.

Используя эти две операции, мы можем считать линейные комбинации векторов: \(\alpha_1 \mathbf{a}_1 + \alpha_2 \mathbf{a}_2 + ... + \alpha_n \mathbf{a}_n ,\) где \(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, ..., \mathbf{a}_n\) – векторы, а \(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n\) – числа.

Норма (длина) вектора#

В линейной алгебре для обобщения понятия длины вектора используется термин норма. Можно сказать, что понятия длины и нормы эквивалентны.

Формально норма определяется как функционал в векторном пространстве, удовлетворяющий 3 аксиомам и отображающий элементы этого пространства (векторы) в множество неотрицательных вещественных чисел.

Данному определению нормы удовлетворяет множество функционалов, но мы будем рассматривать наиболее часто используемый – Евклидову норму.

Для простоты понимания рассмотрим вектор на плоскости. С геометрической точки зрения он представляет собой направленный отрезок. Направленность вектора никак не влияет на его длину, поэтому, при расчете длины, мы можем работать с ним как с отрезком на плоскости и посчитать длину по школьным формулам. Заметим тот факт, что координаты вектора соответствуют числам, умноженным на орты координатных осей, поэтому формула длины вектора выглядит следующим образом: \(\lVert \mathbf{a} \rVert = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}\). Соответственно, в общем случае формула выглядит следующим образом: \(\lVert \mathbf{a} \rVert = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}\)

Скалярное произведение#

Одной из самых распространенных операций над двумя векторами является так называемое скалярное произведение, результатом которого является число (скаляр) – отсюда и название операции.

Замечание: Кроме скалярного произведения существует также векторное произведение над парой векторов, результатом которого являются вектор. Также существует смешанное произведение над тройкой векторов, результатом которого является число. Данные операции в рамках курса рассматриваться не будут.

Скалярное произведение используется в определении длины векторов и угла между ними. Данная операция имеет два определения:

  • алгебраическое: \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n\)

  • геометрическое: \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \lVert \mathbf{a} \rVert \lVert \mathbf{b} \rVert \cos{\theta},\) где \(\theta\) – угол между векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\).

Используя оба эти определения можно вывести формулу для расчета косинуса угла между векторами:

\[ \cos{\theta} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\lVert \mathbf{a} \rVert \lVert \mathbf{b} \rVert} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_n b_n}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2} \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2}} \]

С помощью данной формулы можно прийти к одному из главных свойств скалярного произведения, которое заключается в том, что два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, как их скалярное произведение равно 0: \(\mathbf{a} \perp \mathbf{b} \leftrightarrow \cos{\theta} = 0 \leftrightarrow \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0\)

Скалярное произведение можно использовать для расчета нормы вектора следующим образом: \(\lVert \mathbf{a} \rVert = \sqrt{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}}\)

Линейная независимость#

Одним из основополагающих понятий линейной алгебры является линейная зависимость/независимость.

Для определения данного понятия рассмотрим набор из нескольких векторов. Набор векторов является линейно зависимым, если существует такая ненулевая линейная комбинация векторов данного набора (как минимум один элемент данной комбинации не равен 0) равная нулевому вектору (вектор, состоящий только из 0):

\[\begin{split} \lambda_1 \mathbf{a}_1 + \lambda_2 \mathbf{a}_2 + ... + \lambda_m \mathbf{a}_m = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix}, \\ \exists j, \, \lambda_j \not = {0} \end{split}\]

Если набор векторов не является линейно зависимым, то есть не существует ненулевой линейной комбинации векторов данного набора равной нулевому вектору, то такой набор векторов называется линейно независимым.

Пример:

  • линейно независимый набор векторов (только нулевые коэффициенты линейно комбинации приводят к нулевому вектору):

\[\begin{split} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \rightarrow 0 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{split}\]

  • линейно зависимый набор векторов (существуют ненулевые коэффициенты линейно комбинации, которые приводят к нулевому вектору):

\[\begin{split} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \rightarrow 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - 1 \cdot\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{split}\]

Из определения линейной зависимости можно вывести следующее свойство: Набор векторов линейно зависим тогда и только тогда, когда один из элементов этого набора может быть выражен через оставшиеся.

Замечание: Если векторы рассматривать как какие-то характеристики объектов, то линейную зависимость можно интерпретировать как избыточность данных.

С помощью понятия линейной независимости вводится понятие размерности векторного пространства – это максимальное число линейно независимых векторов в нем.

Базис#

В формальном определении вектора не присутствуют никакие его количественные интерпретации, а лишь две операции над векторами и 8 аксиом.

Откуда же появляются количественные измерения? Для того, чтобы это стало понятно, нужно ввести понятия базиса.

Базис – это конечный набор векторов в векторном пространстве, такой, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов этого набора.

Вспомним один из примеров выше, где мы представляли прямоугольную систему координат на плоскости и единичные векторы (орты) \(\mathbf{e}_1\), \(\mathbf{e}_2\). \(\mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \mathbf{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) В данном примере мы разложили произвольный вектор \(\mathbf{a}\) следующим образом:

\[\begin{split} \mathbf{a} = a_1 \mathbf{e}_1 + a_2 \mathbf{e}_2 = a_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + a_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \end{split}\]

Получается, что орты \(\mathbf{e}_1\), \(\mathbf{e}_2\) являются базисом двумерного векторного пространства, и с помощью линейной комбинации этих векторов мы можем единственным образом представить любой вектор этого пространства.

Возникает вопрос, данный базис является единственным в двумерном пространстве, или нет?

Ответ на этот вопрос – нет. На самом деле можно взять два любых вектора (почти любых), и они тоже будут являться базисом, при условии, что любой вектор можно разложить с помощью их линейной комбинации.

Пример.

Пусть у нас есть вектор \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) в базисе единичных орт, и мы хотим разложить его по другому базису \(\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \end{pmatrix}\):

\[\begin{split} \alpha_1 \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix} + \alpha_2 \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{split}\]

Откуда мы можем найти, что \(\alpha_1 = -1\), \(\alpha_2 = -1\):

\[\begin{split} -1 \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix} + -1 \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{split}\]

Таким образом, вектор \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) в базисе единичных орт представляется как \(\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}\) в базисе \(\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \end{pmatrix}\).

Но для базиса, как было сказано ранее, подойдет не любой набор векторов.

Например через набор векторов \(\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix}\) нельзя разложить вектор \(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\), поэтому данный набор векторов не является базисом.

В чем же принципиальная разница между этими базисами, и может ли базис двумерного пространства состоять, например, из большего или меньшего числа векторов, чем 2?

У линейной алгебры есть на это ответ: Любые \(n\) линейно независимых векторов \(n\)-мерного векторного пространства образуют базис этого пространства.

Именно из-за линейной зависимости векторов \(\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix}\) они не могут являться базисом двумерного пространства.

Что мы узнали?#

  • Определение вектора

  • Операции с векторами

  • Норма (длина) вектора

  • Скалярное произведение

  • Линейная независимость

  • Базис